Demo 2. Solutions.


1. Convertir -65 en notation IEEE-754 simple précision.
Solution:

      65 = 10000012 = 1.000001 x 26
 
      donc:
            la partie fractionnaire .f est .0000 01
            l'exposant e est 6 
            l'exposant biaisé ê est 127+6 = 128+5 =
               1000 0000 + 0000 0101 = 1000 0101 en binaire

            le bit de signe s est 1 (pour négatif)
     
       La représentation s | ê | f est donc
       
       s   ê         f
       1   1000 0101  0000 0100 0000 0000 0000 000
         
       On colle les bits et on les regroupe par 4

       1100 0010 1000 0010 0000 0000 0000 0000

         C   2    8    2    0    0    0    0
       
      la reponse est donc C282 0000

b)   7.3125

      Faut écrire en binaire:
       7 est 111

       .3125 x 2 = 0.6250
       .625  x 2 = 1.25
       .25   x 2 = 0.5
       .5    x 2 = 1.0
       et .3125 est donc .0101

      7.4125 = 111.01012 = 1.1101 01 x 22

      s = 0
      ê = 127 +2 = 128 + 1 = 1000 0001
      f = .1101 0100 0000 0000 0000 000
     
      La prepresentation est
  
      0 1000 0001 1101 0100 0000 0000 0000 000

      qui en regroupant comme il faut par quartets (hexa) donne:

      0100 0000 1110 1010 0000 0000 0000 0000
      4    0    E    A    0    0    0    0
 
Rep: 40EA 0000

2. Quel est le nombre dont la représentation IEEE simple précision est 

    8000 8000

Sol:

   Il faut d'abord écrire les bits de ce nombre

    1000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000

    puis les regrouper comme il faut pour retrouve s, ê et f

    1 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0000 000

    Donc ê = 0 et le nombre est non normalisé
    Le nombre est donc

    - 0.0000 00012 x 2-126  = - 2-8 x 2-126
         = - 2-134 

Rep:   (-1) x 2-134

3 Le plus petit nombre non nul normalisé:

  Les nombres réels qui ont une représentation IEEE-754 normalisée exacte
  sont de la forme:
 
    (-1)s (1 + f)x 2e

  avec  f une fraction exprimable en binaire avec au plus 23 bits et
  -126 <= e <= 127.

  Le plus petit exposant possible pour le nombres normalisés est donc -126.
  La plus petite fraction possible est 0.

  Le plus petit nombre normalisé est donc 1.0 x 2-126 = 2-126

  
  Les nombre reels qui ont une représentation IEEE-754 dénormalisée exacte
  sont de la forme

    (-1)s (0 + f) x 2-126

  avec  f une fraction exprimable en binaire avec au plus 23 bits.

  Le plus petit f non nul exprimable avec 23 bits est (en binaire)

    .0000 0000 0000 0000 0000 001

 qui est en fait f = 2-23. Le plus petit nombre positif non
 normalise est donc

         (0 + 2-23) x 2-127 = 2-149


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Pour montrer que les fonctions sont distinctes, suffit de trouver
des inputs qui donnent des sorties distinctes. Par exemple, pour A=0
B=1 et C=0 on a

  f(A,B,C) = ABC + A'BC'  = 0 + 1     = 1
  g(A,B,C) = ( A XOR C)B  (0 XOR 0) 1 = 0

Les fonctions sont donc distinctes. Pour trouver ces valeurs, on construit
la table de f et g et on arrete des qu'on a trouve une ligne ou f et g
different.